Co je narozeninový paradox?

24/09/2022 Gabi Kurdnová 0 komentářů happy birthday, narozeniny, paradox392 Zobrazení 3 min read

Jak velká musí být skupina, aby existovala „narozeninová dvojčata“?

Zde je zábavný hlavolam: Jak velká musí být skupina lidí, aby byla 50% šance, že alespoň dva z nich budou mít narozeniny ve tejný den? Odpověď je 23, což mnoho lidí překvapuje, napsal Livescience. Jak je tohle možné?

Když se zamyslíte nad touto otázkou, známou ve statistikách jako „narozeninový paradox“, mnoho lidí intuitivně řekne 183, protože je to polovina všech možných narozenin, vezmeme-li v úvahu, že rok má obecně 365 dní. Bohužel, intuice si v tomto druhu statistického problému často vede ke špatnému výsledku.

„Miluji tyto typy problémů, protože ilustrují, jak lidé obecně nejsou dobří v pravděpodobných předpokladech, což je vede k nesprávným rozhodnutím nebo vyvozování špatných závěrů.“ Jim Frost, statistik, který napsal tři knihy o statistice a je pravidelným komentátorem statistického přehledu Statistika Americké společnosti kvality, řekl Live Science v e-mailu. „Navíc ukazují, jak prospěšná může být matematika při zlepšování našich životů. Takže neintuitivní výsledky těchto problémů jsou zábavné, ale také slouží svému účelu.“

Aby Frost vypočítal odpověď na narozeninový paradox, začal s několika předpoklady. Za prvé, ignoroval přestupné roky, protože to zjednodušuje matematiku a nemění výsledky příliš. Také předpokládal, že všechny narozeniny mají stejnou šanci, že se střetnou.

Pokud začnete se skupinou dvou lidí, šance, že první člověk nesdílí narozeniny s druhým, je 364/365. Pravděpodobnost, že mají narozeniny, je tedy 1 minus (364/365), tedy pravděpodobnost asi 0,27 %.

Pokud předpokládáte skupinu tří lidí, první dva lidé pokrývají dvě data. To znamená, že šance, že třetí osoba nesdílí narozeniny s ostatními dvěma, je 363/365. Pravděpodobnost, že všichni sdílejí narozeniny, je tedy 1 minus součin (364/365) krát (363/365), neboli pravděpodobnost asi 0,82 %.

Čím více lidí ve skupině, tím větší je šance, že narozeniny bude sdílet alespoň jedna dvojice lidí. S 23 lidmi je pravděpodobnost 50,73 %, poznamenal Frost. Při 57 lidech je pravděpodobnost 99 %.

Může existovat několik důvodů, proč se odpověď na narozeninový paradox zdá neintuitivní. Jedním z nich je, že lidé mohou nevědomě vypočítat, jaká je pravděpodobnost, že někdo jiný ve skupině má narozeniny, na rozdíl od skutečné otázky, zda někdo ve skupině narozeniny sdílí, řekl Frost.

„Zadruhé, myslím, že také začínají něčím ve smyslu, … no, rok má 365 dní, takže na 50% šanci pravděpodobně potřebujete asi 182 lidí,“ řekl Frost. „Ale co je nejdůležitější, výrazně podceňují, jak rychle se pravděpodobnost zvyšuje s velikostí skupiny. Počet možných párů roste exponenciálně s velikostí skupiny. A lidé jsou hrozní, pokud jde o chápání exponenciálního růstu.“

Problém narozenin koncepčně souvisí s dalším problémem exponenciálního růstu, poznamenal Frost. „Předpokládejme, že výměnou za nějakou službu vám bude nabídnuta platba 1 koruna první den, 2 koruny druhý den, 4 koruny třetí, 8 korun, 16 korun a tak dále po dobu 30 dnů,“ řekl Frost. „Je to dobrý obchod? Většina lidí si myslí, že je to špatný obchod, ale díky exponenciálnímu růstu budete mít 30. den celkem 10,7 milionu dolarů.“

Zdroj: Livescience